Exposé(s) sur Pythagore : un prétexe pour marquer une rupture

À l’occasion de l’étude du théorème de Pythagore, c’est l’occasion pour les élèves de se questionner sur Pythagore. Cette anné encore, plutôt que de leur apporter une réponse, je les ai laissé chercher et j’ai demandé à 8 d’entre eux (4 par classe) de présenter un exposé sur ce personnage. Je ne reviendrais pas sur le personnage de Pythagore ni ne donnerait une « correction » d’un tel exposé, mais j’expose quelques constats

Premier constat : dans l’établissement où je suis cette année, les élèves ont été « dressé » à ne pas aller sur Wikipedia. Résultat, ils vont ailleurs, sur des sites dont ont ne peut pas toujours évaluer la qualité ou qui ont recopié le contenu de Wikipedia (certes en l’atttribuant et en le licenciant correctement) à une date donnée, sans le faire évoluer depuis. C’est le cas du site http://www.jesuismort.com/ dont les élèves ont avoué s’être inspiré et utilisent plus ou moins régulièrement.

Second constat : l’organisation classique des pages d’informations qu’on trouve sur Pythagore, qu’il s’agisse de Wikipedia, un site d’histoire des mathématiques ou une encyclopédie canadienne est sensiblement la même. Toutes commencent par des éléments « historiques » et quasi-mythiques, comme sa participation aux olympiades (d’ailleurs les auteurs ne sont pas sur de l’édition) et s’intéressent que dans une seconde partie aux aspects plus fondamental, comme son œuvre au sens large.

On constate d’ailleurs que sur les mythes sur Pythagore, bien qu’étayés historiquement ont été très tôt construit, aussi bien par Hérodote, que par les historiens romains, qui ont cherché à en faire un précepteur du second roi de Rome. On retrouve à propos de Pythagore de la part des histoiriens modernes les mêmes remarques que pour Euclide mettant en doute son existence comme être unique, pour le remplacer par un collectif, ou une École. C’est d’ailleurs cet aspect d’École, de courant de pensée qui caractérise Pythagore, avec en particulier une grande dimension ésotérique sur le fait que son enseignement était certainement caché.

Le théorème dit de Pythagore établit une des premières crises dans l’histoire des mathématiques, en particulier chez les grecs. Denis Guedj, dans le Théorème du Perroquet, met en exergue cette crise qui reste fondamentale dans l’évolution du parcours scolaire de l’enfant en France.

Bien qu’il ne soit pas formalisé de cette façon, le théorème de Pythagore introduit une rupture considérable. En effet, dans la construction numéral moderne, on utilise les nombres pour dénombrer, ordonner ou encore mesurer, et comme les grecs, mais de façon peut-être moins consciente, on passe d’une échelle à l’autre par des rapports proportionnels. Autrement dit, les nombres sont entiers ou décomposables comme somme d’entier et de fractions d’entiers. Et ce théorème introduit des nombres qu’on ne peut même pas approximer facilement par des opérations élémentaires. L’élève ne peut trouver, dans son système de représentation, que par tatonnement successifs, parfois en étant guidé, parfois sans guide. La difficulté à représenter algébriquement ce nombre, qu’on peut pourtant tracer et estimer (par la mesure) constitue une difficulté pour les élèves.

Afin de passer outre cet écueil, je compte mettre en place une activité présentant l’algorithme d’extraction de racine d’Héron d’Alexandrie (voir aussi la méthode de Héron qui est une simplication du précédent). Cette méthode, certainement connue des perses et des babylonniens (et peut-être par extension de Pythagore lui-même) permet de calculer rapidement la racine d’un nombre, en l’exprimant sous la forme d’une fraction continue ou sous la forme de calculs successifs. J’espère que son exposé, couplé à l’utilisation astucieuse de la table des carrés, permettra une meilleure compréhension de la racine d’un nombre. Suit au prochain épisode.

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